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解题步骤

各题型解题步骤​

判断X,YX,Y是否独立​

验证P{X=i,Y=j}=?=P{X=i}P{Y=j}P\{X=i,Y=j\}=?=P\{X=i\}P\{Y=j\}

在BB已发生的情况下是A?A_?的概率​

贝叶斯+全概率

已知：P(A1),P(A2),P(A3)⋯P(A_1),P(A_2),P(A_3)\cdots和P(B∣A1),P(B∣A2),P(B∣A3)⋯P(B|A_1),P(B|A_2),P(B|A_3)\cdots

求解：P(A?∣B)P(A_?|B)

贝叶斯公式：P(A?∣B)=P(B∣A?)P(A?)P(B)P(A_?|B)=\dfrac{P(B|A_?)P(A_?)}{P(B)}

其中P(B)P(B)为全概率：P(B)=P(B∣A1)P(A1)+P(B∣A2)P(A2)+⋯P(B)=P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+\cdots

样本容量nn至少多大​

已知：总体N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)，样本容量nn，P(X‾∈[left,right])≥αP(\overline X \in[left,right])\geq\alpha

求解：nn的最小值

  1. P(left−μσ/n<X‾−μσ/n<right−μσ/n)P(\dfrac{left-\mu}{\sigma/\sqrt n}<\dfrac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt n}<\dfrac{right-\mu}{\sigma/\sqrt n})
  2. ϕ(right−μσ/n)−ϕ(left−μσ/n)≥α\phi(\dfrac{right-\mu}{\sigma/\sqrt n})-\phi(\dfrac{left-\mu}{\sigma/\sqrt n})\geq\alpha
  3. 查表

求矩估计​

  • 令 总体一阶矩=样本一阶矩
  • 令 总体二阶矩=样本二阶矩

求极大似然估计​

  1. 求似然函数L()\mathcal L()：每个样本对应密度的乘积

    • 离散型随机变量用p
    • 连续型随机变量用密度函数

    求出每个样本的概率相乘

  2. 求似然函数L()\mathcal L()关于ee的对数ℓ()\mathcal \ell()

  3. 对ℓ()\ell()求导

  4. 对参数求导，并置0解出参数

  5. 无解则在端点处

求置信区间​

已知：置信度1−α=?%1-\alpha=?\%

  • 求μ\mu的置信区间

    • 有σ\sigma：[x‾±σnu(1−α2)]\left[\overline x\pm\dfrac{\sigma}{\sqrt n}u(1-\tfrac{\alpha}{2})\right] 提示：ϕ(u(0.01))=0.01\phi(u(0.01))=0.01

    • 无σ\sigma：[x‾±sntα2(n−1)]\left[\overline x\pm \dfrac{s}{\sqrt{n}}t_{\tfrac{\alpha}{2}}(n-1)\right]

  • 求σ\sigma的置信区间

    [(n−1)S2χ1−α22(n−1),(n−1)S2χα22(n−1)]\left[\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\tfrac{\alpha}{2}}(n-1)},\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\tfrac{\alpha}{2}}(n-1)}\right]

假设检验：能否认为？？​

  1. 判断是检验μ\mu或σ\sigma，以确定用什么分布（题尾可能会给出多个分布）

    检验μ\mu：

    σ\sigma已知：Z=N(0,1)Z=N(0,1)

    σ\sigma未知：tt分布

    检验σ\sigma：χ2χ^2分布

  2. 判断双边/左边/右边，定义原假设

    做假设的时候，等号(双边)优先，其次考虑默认那个

    比如说检验次品，你就默认他是次品

    然后要是它能拒绝“是次品”的假设，说明保证是正品

    要是它不能拒绝，那就寄

  3. 定义拒绝域

  4. 计算检验统计量

  5. 判断检验统计量是否落入拒绝域并提出结论

    检验参数条件H0H_0拒绝域检验统计量分布
    μ\muσ\sigma已知μ=μ0\mu=\mu_0{∣z∣≥zα2}\{\vert z \vert \geq z_\frac{\alpha}{2}\}z=X‾−μ0σ/nz=\dfrac{\overline X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}N(0,1)N(0,1)
    μ≥μ0\mu\geq\mu_0{z≤−zα}\{z \leq -z_\alpha\}
    μ≤μ0\mu\leq\mu_0{z≥zα}\{z \geq z_\alpha\}
    σ\sigma未知μ=μ0\mu=\mu_0{∣t∣≥tα2(n−1)}\{\vert t \vert \geq t_\frac{\alpha}{2}(n-1)\}t=X‾−μ0S/nt=\dfrac{\overline X-\mu_0}{S/\sqrt n}t(n−1)t(n-1)
    μ≥μ0\mu\geq\mu_0{t≤−tα(n−1)}\{t \leq -t_\alpha(n-1)\}
    μ≤μ0\mu\leq\mu_0{t≥tα(n−1)}\{t \geq t_\alpha(n-1)\}
    σ\sigmaμ\mu已知σ2=σ02\sigma^2=\sigma^2_0{χ2≤χ1−α22(n)}∪{χ2≥χα22(n)}\{\chi^2 \leq \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)\}\cup\{\chi^2 \geq \chi^2_\frac{\alpha}{2}(n)\}χ2=∑i=1n(Xi−μσ0)2\chi^2=\sum^n_{i=1}\left(\dfrac{X_i-\mu}{\sigma_0}\right)^2χ2(n)\chi^2(n)
    σ2≥σ02\sigma^2\geq\sigma^2_0{χ2≤χ1−α2(n)}\{\chi^2\leq\chi^2_{1-\alpha}(n)\}
    σ2≤σ02\sigma^2\leq\sigma^2_0{χ2≥χα2(n)}\{\chi^2\geq\chi^2_\alpha(n)\}
    μ\mu未知σ2=σ02\sigma^2=\sigma^2_0{χ2≤χ1−α22(n−1)}∪{χ2≥χα22(n−1)}\{\chi^2 \leq \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}\cup\{\chi^2 \geq \chi^2_\frac{\alpha}{2}(n-1)\}χ2=(n−1)S2σ02=∑i=1n(Xi−μσ0)2\begin{aligned}\chi^2&=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2_0}\\&=\sum^n_{i=1}\left(\dfrac{X_i-\mu}{\sigma_0}\right)^2\end{aligned}χ2(n−1)\chi^2(n-1)
    σ2≥σ02\sigma^2\geq\sigma^2_0{χ2≤χ1−α2(n−1)}\{\chi^2\leq\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\}
    σ2≤σ02\sigma^2\leq\sigma^2_0{χ2≥χα2(n−1)}\{\chi^2\geq\chi^2_\alpha(n-1)\}
    μ1,μ2\mu_1,\mu_2σ1,σ2\sigma_1,\sigma_2已知μ1=μ2\mu_1=\mu_2{∣z∣≥zα2}\{\vert z \vert \geq z_\frac{\alpha}{2}\}z=X‾−Y‾σ12n1+σ22n2z=\dfrac{\overline X-\overline Y}{\sqrt {\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}N(0,1)N(0,1)
    μ1≥μ2\mu_1 \geq\mu_2{z≤−zα}\{z \leq -z_\alpha\}
    μ1≤μ2\mu_1\leq\mu_2{z≥zα}\{z \geq z_\alpha\}
    σ1=σ2=σ\sigma_1=\sigma_2=\sigma未知μ1=μ2\mu_1=\mu2{∣t∣≥tα2(n1+n2−2)}\{\vert t \vert \geq t_\frac{\alpha}{2}(n_1+n_2-2)\}Sw=(n1−1)S12+(n2−1)S22n1+n2−2t=X‾−Y‾Sw1n1+1n2S_w=\sqrt{\dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}}\\t=\dfrac{\overline X-\overline Y}{S_w\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}t(n1+n2−2)t(n_1+n_2-2)
    μ1≥μ2\mu_1 \geq\mu_2{t≤−tα(n1+n2−2)}\{t\leq -t_\alpha(n_1+n_2-2)\}
    μ1≤μ2\mu_1\leq\mu_2{t≥tα(n1+n2−2)}\{t\geq t_\alpha(n_1+n_2-2)\}
    σ1,σ2\sigma_1,\sigma_2μ1,μ2\mu_1,\mu_2已知σ12=σ22\sigma_1^2=\sigma^2_2{F≤F1−α2(n1,n2)}∪{F≥Fα2(n1,n2)}\{F\leq F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1,n_2)\}\cup\{F\geq F_\frac{\alpha}{2}(n_1,n_2)\}F=∑i=1n1(Xi−μ1)2n1∑i=1n2(Xi−μ2)2n2F=\dfrac{\sum_{i=1}^{n_1}\dfrac{(X_i-\mu_1)^2}{n_1}}{\sum_{i=1}^{n_2}\dfrac{(X_i-\mu_2)^2}{n_2}}F(n1,n2)F(n_1,n_2)
    σ12≥σ22\sigma_1^2\geq\sigma^2_2{F≤F1−α(n1,n2)}\{F\leq F_{1-\alpha}(n_1,n_2)\}
    σ12≤σ22\sigma_1^2\leq\sigma^2_2{F≥Fα(n1,n2)}\{F\geq F_\alpha(n_1,n_2)\}
    μ1,μ2\mu_1,\mu_2未知σ12=σ22\sigma_1^2=\sigma^2_2{F≤F1−α2(n1−1,n2−1)}∪{F≥Fα2(n1−1,n2−1)}\{F\leq F_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1-1,n_2-1)\}\cup\{F\geq F_\frac{\alpha}{2}(n_1-1,n_2-1)\}F=S12S22F=\dfrac{S_1^2}{S_2^2}F(n1−1,n2−1)F(n_1-1,n_2-1)
    σ12≥σ22\sigma_1^2\geq\sigma^2_2{F≤F1−α(n1−1,n2−1)}\{F\leq F_{1-\alpha}(n_1-1,n_2-1)\}
    σ12≤σ22\sigma_1^2\leq\sigma^2_2{F≥Fα(n1−1,n2−1)}\{F\geq F_\alpha(n_1-1,n_2-1)\}

给fXf_X和X,YX,Y关系式，求fYf_Y​

  1. 求Y的范围

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