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线性代数

行列式​

  • 行列式 =det(=det(矩阵))
  • 行列式一行仅有一个非0数时即可展开

Cramer克拉默法则​

条件：

  • 系数行列式D≠0D≠0
  • 方程个数=未知元个数

内容：

  • 系数行列式D≠0  ⟺  D≠0\iff方程组有唯一解
  • 系数行列式D=0  ⟺  D=0\iff方程组有非零解
  • 系数行列式D≠0  ⟺  D≠0\iff方程组有唯一零解(b=0)(b=0)

向量组线性无关​

∣α1α2⋮∣≠0\left| \begin{array}{cccc} α_1 \\ α_2 \\ \vdots \end{array} \right| \neq0

初等变换​

  1. 交换两行/列，行列式变为相反数
  2. 某一行/列乘k，行列式变为k倍
  3. 某一行/列的k倍加到另一行/列，行列式值不变

行列式 =0=0​

  1. 某一行/列全零
  2. 某两行相等/成比例
  3. 某一行是某一行与某一行的和

矩阵​

  • 初等变换间用→连接
  • 解方程有唯一解：系数矩阵的秩=增广矩阵的秩
  • 系数矩阵：方程组未知数系数组成的矩阵
  • 增广矩阵：系数矩阵右边添等号右边的那一列
  • I就是E
  • 对称矩阵：沿主对角线对称的矩阵
  • AAT=A  ⟺  AA^T=A\iffA为对称矩阵
  • 伴随矩阵：A∗=(A11A12A21A22)TA^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}^T, A12A_{12}为行一列二的代数余子式
  • 伴随矩阵：∣A∗∣=∣A∣n−1|A^*|=|A|^{n-1}
  • ∣AB∣=∣A∣∣B∣|AB|=|A||B|
  • 奇异矩阵：不可逆矩阵
  • 可逆矩阵：满秩矩阵
  • AA 可经初等变换变换为B：rank(A)=rank(B)rank(A)=rank(B)
  • 对称矩阵：不同特征值对应的特征向量是正交的

秩​

定义：

  • 矩阵的行阶梯形的非全0行数

转置​

  1. (AT)T=A(A^T)^T=A
  2. (A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T
  3. (kA)T=kAT(kA)^T=kA^T
  4. (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T
  5. ∣A∣=∣AT∣|A|=|A^T|

逆​

  • 存在B使得AB=BA=EAB=BA=E，则A可逆
  • A的行列式 ≠0≠0，则A可逆

算法：

  • (初等行变换法) (A∣E)→(E∣B)(A|E)→(E|B)，则 B=A−1B=A^{-1}
  • (伴随矩阵法) A−1=A∗∣A∣A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}

性质：

  1. (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A
  2. (kA)−1=k−1A−1=1kA−1(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1}
  3. (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
  4. (AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T
  5. 若 AA 可逆，∣A−1∣=1∣A∣==∣A∣−1|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}==|A|^{-1}

初等变换​

  1. 对调两行/列
  2. 将某行/列与0数乘
  3. 把某行/列的的倍数加到另一行

特征值和特征向量​

  1. ∣λE−A∣=0|λE-A|=0，求解 λ= ?λ=\:?（ λλ 即为特征值）
  2. 分别将 λλ 的值代入原矩阵
  3. 将矩阵化为行最简形
  4. 非行阶梯首的为自由变量，分别设置为 11，其他设置为 00，求非自由变量的值，得到一个列向量 αα
  5. kαk_α即为特征向量，特征向量一般有多个

对角化​

  • 可对角化条件：特征值 λλ 个数 == 基础解系 aa 个数

题：求A=(−110−430102)A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}的特征值和特征向量

  1. ∣λE−A∣=∣λ+1−104λ−30−10λ−2∣=(λ+1)(λ−3)(λ−2)+4(λ−2)=|λE-A|=\left| \begin{array}{cccc} λ+1 & -1 & 0 \\ 4 & λ-3 & 0 \\ -1 & 0 & λ-2 \end{array}\right|\\ =(λ+1)(λ-3)(λ-2)+4(λ-2)\\ =

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